GRUPO 6. INTEGRANTES

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS

QUÍMICA DE ALIMENTOS

Grupo 6:
Tema: Lugares geométricos
Integrantes:

• Arroba Alejandra
• Hoyos Carolina
• Mina Sofia
• Ñacato Carolina
• Pilco Gabriela
• Tabango David
• Villareal Valeria
  

Objetivo:

• Resolver dudas sobre lugares geométricos: la recta, circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. 
• Aplicar nuestros conocimientos básicos sobre los lugares geométricos.
• Lograr una participación activa entre compañeros para desarrrollar nuestros conocimientos.

LUGARES GEOMÉTRICOS

Lugares Geométricos

Definición de lugar geométrico:

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

La propiedad geométrica que define el lugar geométrico, tiene que traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

• Introducción de los lugares geométricos: 

http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Lugar%20Geometrico.pdf

LA RECTA

LA RECTA

• Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
• Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
• Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula

Video introductorio sobre la recta:
http://www.youtube.com/watch?v=RwQPvIw6tCY

TIPOS DE RECTA:

Secantes:

Las rectas secantes se cortan en un punto.

 

Paralelas:

Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.

 

Coincidentes:

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

 

Perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

PENDIENTE DE LA RECTA:

Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.
Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.
Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.

ECUACION DE LA RECTA:

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
Sean P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.
Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente.

O sea:

   y  

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

que también se puede expresar como

• http://youtu.be/t4yMz07eTIw  (Ecuación de una recta conociendo dos puntos)

Ecuación de la recta dados punto–pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente):

Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que pasa por  dos puntos está determinada por

pero

Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos

despejando, llegamos a:

y – y₁ = m(x – x₁)

• http://youtu.be/W3wRESJsc9Q (Ecuación de recta conociendo un punto y su pendiente (forma punto - pendiente) )

Información Adicional:

En este enlace se podrá conocer el significado del segmento geométrico conocido como recta ( http://www.ditutor.com/geometria/rectas.html).

En este enlace se puede observar como representar gráficamente una recta (http://www.youtube.com/watch?v=RwQPvIw6tCY).

En este enlace se puede observar correctamente todo lo relacionado sobre la pendiente y las distintas ecuaciones de la recta existentes según se presente el caso (http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Recta_Ecuacion_de.html).

En este enlace se podrá comprobar la interpretación de la una ecuación de la recta conociendo su pendiente y uno de sus puntos (http://youtu.be/W3wRESJsc9Q).

En este enlace se podrá comprobar la interpretación de la una ecuación de la recta conociendo sus 2 puntos ( http://youtu.be/t4yMz07eTIw ).

LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. 

 

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA:  

Centro:

Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio: 

Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma

Cuerda:

Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

 

 

Diámetro:

Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro mide el doble del radio.

 

 

Arco:

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

 

 

Semicircunferencia:

Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diàmetro.

  

ECUACIÓN DE LA CIRCUNEFERENCIA:
Ecuación de la circunferencia forma canónica C (0,0):

r2 = x2 + y2
Ecuación de la circunferencia forma ordinaria C (h,k):

r2 = (x – h)2 + (y – k)2

Ecuación de la circunferencia forma general

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

C = (- D/2; - E/2)

Ecuación general de la circunferencia dado su centro y radio

Información Adicional:

• Introducción teórica de la ecuación de la circunferencia ( ejemplos) http://www.geoan.com/conicas/ecuacion_circunferencia.html
• Ejercicios resueltos de la ecuación de la circunferencia http://www.vitutor.net/1/32.html
• Ecuación de la circunferencia. Ejercicios y problemas http://www.vitutor.com/geo/coni/fActividades.html

Circunferencia forma ordinaria C (h,k):

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto de coordenadas (x,y) que se mueve sobre un plano, de manera que su distancia permanece constante con relación a un punto fijo de coordenadas (h,k).

Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejesx-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C _{(C; r)} .  

Entonces:    Es decir,    Por lo tanto:

 

Si desarrollamos la forma reducida de la ecuación de la circunferencia         

r²= (x-h)² + (y-k)²  

obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia:

x²- 2xh + h² + y² - 2yk + k² - r²=0

 

Si en la expresión anterior, sustituimos; 

D = -2h

E = -2k

F = h² + k² – r²

 

Podemos escribir la ecuación de la siguiente forma:

x²+y²+Dx+Ey+F = 0 Forma general de la ecuación de la  circunferencia

Nota: La condición característica que distingue la circunferencia de las otras 4 curvas es que sus términos cuadráticos  tienen igual coeficiente. Además, la ecuación de la circunferencia nunca tendrá el término  Bxy que en algunos casos lo tienen las otras curvas.

• Demostración de la ecuación de la circunferencia C (h,k) http://www.youtube.com/watch?v=2CEq_1t9gM8&feature=relmfu
• Fórmulas de la ecuación general de la circunferencia C (h,k) http://www.youtube.com/watch?v=K7E4mCbPLJc&feature=relmfu

Información Adicional: 

• Introducción teórica de la ecuación de la circunferencia con centro (h,k): http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/circunferencia.html
• Ejercicios resueltos de la ecuación de la circunferencia con centro (h,k): http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/ejerciciosResuelCircun.html
• Circunferencia, familias y tangentes: http://www.luiszegarra.cl/trigo/cap9.pdf

LA PARÁBOLA

LA PARÁBOLA

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz . 

Introducción a la Parábola:

Concepto de parábola y sus elementos:

Ecuación de la parábola:

Ecuación analítica de la parábola :
Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = -c (por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0) ) , si tomamos un punto cualquiera P(x , y) de la parábola y un punto Q(x , -c) de la recta debe de cumplirse que :

PF = PQ

elevando al cuadrado :

x2 = 4cy

si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p,q) entonces la ecuación sería :

(x-p)2 = 4c(y-q)

desarrollando la ecuación tendremos :

x2 + p2 - 2xp - 4cy + 4cq = 0

si hacemos D = -2p , E = -4c , F = p2 + 4cq obtendremos que es :

x2 + Dx + Ey + F = 0

en la que podemos observar que falta el término de y2

Nota : como habrás observado el término xy no aparece nunca , esto es porque hemos supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes coordenados , en caso contrario aparecería este término , que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes .

Parábola con C (0,0):

Parábola con C (h,k):

Caso 1. Si la parábola se abre a la derecha se relaciona con la ecuación:

(y-k)²= 4p(x-h)

Caso 2. Si la parábola se abre a la izquierda se relaciona con la ecuación:

(y-k)²= – 4p(x-h)

Caso 3. Si la parábola se abre hacia arriba se relaciona con la ecuación:

(x-h)²= 4p(y-k)

Caso 4. Si la parábola se abre hacia abajo se relaciona con la ecuación:

(x-h)²= – 4p(y-k

Demostración de la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen:

 

Obtener los elementos de la parábola, dada la ecuación general (utilizando formulas):

Información Adicional:

• En este link podremos encontrar la definición, demostración de la ecuacion con C (0,0) y con C (h,k). ciencias.udea.edu.co/algebraytrigo/Clase8imprimir.pdf
• En este link podremos encontrar: ecuación de la parábola C(0,0) y C (h,k) y ejercicios.  http://trigo-parabola.blogspot.com/2011/02/conceptos-importantes-de-la-parabola_5897.html



LA ELIPSE

LA ELIPSE

Definición.- Es el lugar geometrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

ELIPSE CON CENTRO (h,k) FUERA DEL ORIGEN

Ecuación de la elipse horizontal de centro (h,k) y sus ejes paralelas a las coordenadas.

La ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es , si la referimos al sistema X'-Y' se tiene:

Se observa que:

x = x' + h
x' = x - h

y = y' + k
y' = y - k

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos la Ecuación de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y su eje mayor o focal paralelo al eje de las abscisas (eje x).

Análogamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuación de la Elipse Vertical con centro C(h , k), es:

La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.

El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:

Mientras que las ecuaciones de las directrices son:

Cuando la elipse es horizontal.

x =

Cuando la elipse es vertical.

y =

Eje Mayor = 2a
Eje Menor = 2b

 

Demostración de la ecuación de la elipse:

Información Adicional:

• Este link es la demostracion de la ecuacion de la elipse http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Elipse.html
• Este lints contiene la definicion de la elipse http://www.rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/e/ellipse.htm
• Este lints contiene los elementos de una elipse http://www.geoan.com/conicas/elipse.html
• Este lints contiene ejerccicios de la elipse http://www.vitutor.com/geo/coni/gActividades.html

LA HIPÉRBOLA

DEFINICIÓN:
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F₁ y F₂, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D₁ y D₂. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro.

Información Adicional:

• Este link describe la definición de la hipérbola y sus ecuaciones analíticas, es decir cuando una hipérbola tiene tiene centro en el origen y cuando tiene centro (h,k). http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Hiperbola.html
• Este link describe la hipérbola, sus partes o elementos, asíntotas y ejemplos: docente.ucol.mx/rcebrera/power%20point/.../hiperbola/hiperbola.pps
• Estos videos nos muestran la ecuación y grafica de una hipérbola parte I y II